Вероятность того, что стрелок не попал в мишень при одном выстреле, равна 0,4. Сделано 10 выстрелов. Найти вероятность того, что: а) 7 пуль попали в цель; б) хотя бы одна пуля попала в цель; в) не менее восьми пуль попали в цель.

Реклама
Алекс19761

Ответы и объяснения

javanets
Лучший Ответ!
javanets

Если выражаться строго математически, то мы имеем дело со схемой испытаний Бернулли со следующими вероятностями событий:
p = P(попадание)=1 - P(промах) = 1 - 0,4 = 0,6
q = P(промах) = 0,4

В рамках данной модели испытаний вероятность успешного события A_k (т.е. вероятность того, что произойдёт в точности k успехов из n), подчиняется биномиальному распределению:
 P(A_k) = C_n^k p^k \cdot q^{n-k}, где
символ C_n^k означает число способов выбрать из n элементов k элементов без учёта порядка. Известно, что
C_n^k = \frac{n!}{k! (n-k)!}.

а) Вероятность того, что ровно 7 пуль из 10 попали в цель, составляет
P(A_7) = C_{10}^7 p^7 \cdot q^{10-7} = \frac{10!}{7! 3!} 0,6^7 \cdot 0,4^3 \approx 0,215

б) Для того, чтобы найти вероятность того, что хотя бы одна пуля попала в цель, нужно понимать, что множество всевозможных событий \Omega  состоит из двух непересекающихся множеств-альтернатив:
A - есть хотя бы одно попадание;
\overline{A} - нет ни одного попадания.
Из определения вероятности (как числовой функции множеств) немедленно следует, что
1 = P(\Omega) = P(A + \overline{A}) = P(A) + P(\overline{A}), поэтому интересующая нас вероятность выражается следующим равенством: P(A) = 1 - P(\overline{A}).

Теперь осталось лишь найти вероятность непопадания P(\overline{A}). Можно действовать по общей формуле вероятностей в схеме испытания Бернулли (и получить тот же самый результат!), но в данном случае ситуация упрощается, если напрямую воспользоваться независимостью испытаний: вероятность непопадания в серии из 10 выстрелов равна произведению вероятностей непопадания после 1-го выстрела, после 2-го выстрела и т.д., до 10-го выстрела:
P(\overline{A}) = q^{10} = 0,4^{10} \approx 0,0001,
поэтому вероятность того, что хотя бы одна пуля попала в цель, равна
P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - 0,0001 \approx 0,9999

в) Событие A_{8/10} "не менее 8-ми пуль попали в цель" является суммой трёх взаимоисключающих событий A_8 "ровно 8 из 10 пуль попали в цель", A_9 "ровно 9 из 10 пуль попали в цель" и A_{10} "ровно 10 из 10 пуль попали в цель", поэтому искомая вероятность равна:
 P(A_{8/10}) = P(A_8) + P(A_9) + P(A_{10}) = C_{10}^{8}p^8 \cdot q^2 + C_{10}^{9}p^9 \cdot q^1 + C_{10}^{10} p^{10} = 45*(0,6)^8(0,4)^2 + 10*(0,6)^9(0,4) + (0,6)^10 \approx 0,167

Ответ: а) 0,215 б) 0,9999 в) 0,167.

5.0
1 оценка
1 оценка
Оцени!
Оцени!